2017年兰州大学综合考试之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
；（2）X 与Y 是否独立？
【答案】（1）因为P （x , y ）的非零区域为图的阴影部分,
图
所以, 当
时, 有
, 因此Y 的边际密度函数为
这是贝塔分布Be （2, 1）. （2）因为
所以X 与Y 不独立.
2． 在长为a 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于a/3的概率.
【答案】记X 为线段中点左边所取点到端点0的距离, Y 为线段中点右边所取点到端点a 的距离, 则
且X 与Y 相互独立, 它们的联合密度函数为
而P （x , y ）的非零区域与
的交集为图阴影部分, 因此, 所求概率为
因此X 的边际密度函数为又当
时, 有
图
3． 某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响. 现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：
表
1
（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在三种方法对含水率有无显著影响；
（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间. 【答案】（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：
表
2
下检验这
三个平方和分别为
据此可建立方差分析表：
表
3
在显著性水
平有显著影响. 检验的p 值为
下，查表
得故拒绝域
为由
于
故认为因子A （储藏方法）是显著的，即三种不同储藏方法对粮食的含水率
（2）每种水平含水率的均值估计分别为
而误差方差的无偏估计为别为
4． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程
【答案】方程
有实根的充要条件是
，因此所求概率为
而K 〜U （l ，6）
5 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本, 试分别求．
【答案】由古典概率可得
这就给出了
的分布列
表
类似地, 从而
因而若取则
于是三个水平均值的0.95置信区间分
有实根的概率.
和的分布.
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