2017年兰州交通大学概率论与数理统计(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求X 与Y 的协方差及相关系数. 【答案】先求X 与Y 的期望与方差
所以
又因为
所以X 与Y 的协方差及相关系数为
2．
设
是来自韦布尔分布
,
的样本（m>0已知）, 试
给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
若
令理,
是
,
取
的充分统计量.
,
, 由因子分解定
3． 设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.
【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有
又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5，所以0.5=P（X=100）=k/100，从中解
得k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，则
因为各次射击是独立的，所以
4． 设事件A 和B 互不相容，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，求以下事件的概率：
（1）A 与B 中至少有一个发生： （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生. 【答案】⑴（2）（3）
5． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
将上式对θ求导，得到
二阶导函数为
6． 设取拒绝域为
【答案】
是来自0-1总体b （1，p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率.
则
，于是犯两类错误的概率分别为
7． 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件，试求：
（1）第一次取出的零件是一等品的概率；
（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. 【答案】记事件为“第i 次取出的是一等品”，i=l，2. 又记事件
x ＞c ，c ＞0已知，θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.
于是
，
为“取到第i 箱”，i=l，2.
（1）用全概率公式
（2）因为
所以
8． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:
试画出茎叶图.
【答案】取整数部分为茎, 小数部分为叶, 这组数据的茎叶图如下:
图
二、证明题
9． 设证:
【答案】注意到
故
证明完成.
10．设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有 【答案】设X 的密度函数为p （X ）
为一个样本,
是样本方差, 试