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一、证明题

1． 证明定理及其推论.

【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体

设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于

上任一点, 在

上有

按下标j 与k 相加, 则有

及

由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且

2． 设f （x ）在

（1）（2）设

上连续, 满足. 则有, f （t ） =t;

, 则t=0.

知, 数列

为收敛数列.

上连续, 对

两边取极限, 得

因此f （t ） =t.

（3）此时（1）, （2）的结论仍成立. 因为当推出t=0.

3． 设

在区间

时,

所以由f （t ） =t可

为递减数列. 由

知, 数列

有

. 设

证明:

时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]

为收敛数列；

（3）若条件改为【答案】（1）由界.

根据单调有界定理, （2）设

, 由于f 在

为正数,

与

. 证明:方程

内各有一个根.

【答案】（1）证法一:设辅助函数

f （x ）为初等函数, 因此f （x ）为连续函数. 由于

由根的存在性定理, 必存在令

则

即

（2）证法二:令因

为

在内有一个根. 同理可证, 方程

4． 设级数满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即 5． 用

方法证明:

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

则

在

与

.

, 所以存

在

由连续函数根的存在定理知,

存在

在

,

使得

内也有一个根.

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

且

, 使

得

,

故方程

内各有一个根.

和

使得

.

, 故有

存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

【答案】令∴

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取

则当

时, 有

即

6．

证明:（1）设f 在

（2）设f 在【答案】

（1）设因为

（2）把函数其中

个线段方程组的系数矩阵为A , 则

. 把

上可导,

若上n 阶可导, 若

和

都存在, 则都存在

, 则

, 由拉格朗日中值定理得

都存在且相等,

所以有

, 故

看作未知数, 解上述线性方程组. 设这

在点

x 处展开为n-l 阶泰勒公式得

由范德蒙行列式的求值公式知,

. 于是,

的线性组合. 由

可以表示为

存在可得

. .

存在（其中

于是. 由

存在（k=1, 2, n-1）. 根据（1）的结论,

的存在性可知

二、解答题

7． 应用换元积分法求下列不定积分:

（1）（3）

（2） （4）