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一、证明题

1． 证明下列数列极限存在并求其值:

（1）设（2）设（3）时成立,

则再证设解得

或递增,

在等式

因为

由数学归纳法知

. 因此两边取极限得, 由保不等式性可知

&

有上界2.

单调递增. 根据单调有界定理, 极限

即

存在.

有上界2. 当

时,

显然成立, 假设

【答案】（1）先用数学归纳法证数列

（2）首先证明数列是单调的

.

所以数列再证明数列要满足两个条件:

①可猜想数列

有上界是递増的.

是有上界的. 先猜想

②

即

, 当

, 再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）

由于

时, 显然

的根为

因此,

假设n=k时成立, 则n=k+l时,

即因为

有上界. 由单调有界定理知, 数列

解得因此

所以

的极限存在. 设

其中

时,

由

由迫敛性得

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, 对

两边取极限得

（3）设M 是一个大于c 的正整数, 即M>c, 则当

可知

因此

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2． 设

【答案】

, 证明:复合函数在x=0连续, 但g 在x=0不连续.

故

在x=0连续. 由

, 可知g 在x=0不连续.

3． 证明下列命题:

（

1）若f

（x ）在[a

, b]

上连续增,

则F （x ）为[a, b]上的增函数. （2）若f （x

）在

上连续, 且

, 则

为

？

【答案】

（1）由f （x ）在[a

, b]上连续及洛必达法则,

得

因此F （x ）在x=a点右连续, 从而F （x ）在[a,

b]上连续, 又当

时,

根据积分中值定理, 存在由f （x ）在

[a,

b]上单调增,

得故

F （x ）为[a, b]上的增函数. （

2）由题设,

可得

. 因此

在

内可微, 且

由从而

故_

为

内的严格增函数. 因

知, 函数（x-t ）f （t ）在

上非负, 且不恒为零, 所以

,

, 使

从而当

. 所以

时,

上的严格增函数, 如果要使

在

上为严格增, 试问应补充定义

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所以补充在

4．

证明:

级数

收敛.

则任意的n , 存在k

,

使

因为

故

b n

中使得

所以

【答案】证法一

:

记

的项

最多

有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二:将该级数中符号相同的项加括号得

因为

即同理可证

故

5． 证明:

【答案】

于是, 对于

, 存在

, 使得当

对, 有

. 在[—M , M]上, 由连续函数的

为单调递减数列且趋于0, 故交错级数

为有界函数.

收敛, 从而原级数收敛.

, 使函数上严格增.

成为

上的连续函数,

再由

, 可得

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