2017年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
因此
是
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
3． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
，
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6．
设
证明：【答案】
是n 维线性空间V 的一组基，A 是一nXs 矩阵
，
的维数等于A 的秩.
是V 的基，则有线性空间的下列同构
上面Z
是在基
下的坐标作成的列向量. 在这同构对应下，线性组合对应成线
在基
下的坐标列向量是
不妨设
的极大线性无关组为
是
则
的线性组合.
于是
是线性无关的.
因任意
是
是
的极大
的线性组合，
故任意
线性无关组. 即r 是A 的秩.
性组合，线性无关对应成线性无关. 设向量组
则将它们按列排成矩阵就是A. 即