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一、计算题

1． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为

所以

2． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.

（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2，所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.

（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l，2，3，4，则

所以甲得全部赌本的11/16，乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有此n+m-1局中至多赢m —1局，

这共有

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的数学期望.

表示，从而

种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着：乙在

种等可能的情况，若记

则

所以甲得全部赌本的

乙得全部赌本的

试求平

3． 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止. 记出现正面的概率为均抛掷次数.

【答案】记X 为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X 可取值2，3，…，且有

可以验证，这是一个分布列. 由此得X 的数学期望为

从上式中可以看出：p=0.9与p=0.1时的平均抛掷次数是一样的，都为91/9；p=0.8与p=0.2时的平均抛掷次数是一样的，都为21/4；而p 越接近于0.5时，E （X ）越小；若p=0.5，即掷一枚均匀硬币，则直至正、反面都出现的平均抛掷次数是3.

4． 设K 服从（1，6）上的均匀分布，求方程

【答案】方程

有实根的充要条件是

，因此所求概率为

而K 〜U （l ，6）

5． 设总体4阶中心矩

存在, 则对样本方差

, 有

其中

为总体X 的方差.

并以

简记从1到n 的求和, 于是

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有实根的概率.

【答案】为书写方便起见, 记

由于诸间相互独立, 且所以,

故

6． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率.

【答案】记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有四个等可能样本点：

和为偶数”，

则从而P （A ）=1/2.

7． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

若令事件A 表示“取出的两个正整数之

【答案】X 的密度函数（如图）为

图

所以

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