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一、证明题

1． 设

证明:

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

2． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

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【答案】因为所以

服从大数定律.

的分

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是

与

3． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

即

值已知）的共轭先验分布.

4． 设是取自二维正态分布

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

的一个二维样本, 记

试求统计量【答案】容易看出

的分布.

仍服从正态分布. 且

所以另外,

类似于一维正态变量场合, 可证与

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相互独立。且

于是根据t 变量的构造可知

这就是我们要求的分布.

5． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是

, 当

则

时,

）上取值, 所以当

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

其中（2）若（0,

当

时, 有

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3

）由

与（2）可知

6． 设数为

是来自均匀分布

其中

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

的相互独立性可导致

分布函数, 即

（2）. 相互独立, 由（1）

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

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