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一、计算题

1． 设某项维修时间T （单位：分钟）服从对数正态分布

（1）求p 分位数（2）若（3）若【答案】因为1）的p 分位数，则由

知

（1）因为所以（2）由（3）因为

2． 设

（1）（2）【答案】⑴

（2）

3． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道

结果又是如何?

是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾

是θ的置信水

平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事

【答案】设

所以当

知：

为

时. 完成95%的维修任务的时间

求该分布的中位数；

求完成95%维修任务的时间. 所以

记

为

的p 分位数，为N （0，

是来自N （8, 4）的样本, 试求下列概率

客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，

在θ未知时，有

从而

即

这说明

区间的长度不超过2d ，即得

若α=0.05，

对第二个问题，当己知时，由于

在

当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得

（或已知

是增函数，所以

样本量

，处理方法完全一样））

从而

这说明

信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到

譬如，

若已知

（即

）则

是θ的置信水平1-α的置

于是关于样本量的要求化为

与θ完全

是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信

随d 的增加（精度减少）迅速降低.

仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得

超过那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.

4． 设二维随机变量（X , Y ）服从二维正态分布

（1）求

【答案】（1）由于

所以

因为

所以

（2）因为

所以由E （X ）=E（Y ）=0, 得

未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会

（2）求X —Y 与XY 的协方差及相关系数.

又由对称性这表明, 当

所以得

时, X-Y 与XY 不相关.

5． 在一个有n 个人参加的晚会上, 每个人带了一件礼物, 且假定各人带的礼物都不相同. 晚会期间各人从放在一起的n 件礼物中随机抽取一件, 试求抽中自己礼品的人数X 的均值和方差.

【答案】记

则由此得

又因为但因为

间不独立, 所以

为计算所以

因此

由此得

6． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数

（1）（2）（3）（4）称, 所以

关于0.5对

=0.5, 于是样本中位数

的渐近分布为

所以

的渐近分布为

的渐近分布.

先给出

的分布列, 注意到

的可能取值为0, 1. 且

所以

是同分布的, 但不独立. 其共同分布为

【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出（2）正态分布

的中位数为