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一、计算题

1． 设

（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当

；

。

时，有

故

由（2）由

知

（3）易知

由

，反复利用此公式，得

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及夹逼准则知。

即

故

2． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。

的图形，其中

试

【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知

为使飞机平稳降落，尚需满足

解得

故飞机的降落路径为

3． 设f （x ）是周期为2的周期函数。它在数形式的傅里叶级数。

上表达式为f （x ）=e。试将f （x ）展开成复

-x

【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了点

外处处连续，则

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故

故

4． 计算半立方抛物线

被抛物线

截得的一段弧的长度。

【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和，由于曲线关于

x 轴对称，因此所求弧段长为第一象限部分的2倍，第一象限部分弧段为

，故所求弧的长度为

5． 求下列函数的最大值、最小值:

【答案】（l ）函数在令

, 得驻点

上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,

比较

,

得函数的最大值为

，

得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为

,

得驻点

,

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