2017年江苏师范大学数学与统计学院847高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
【答案】B 【解析】
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 3． 设次型.
A.
为任意实数
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
B. C. D. 【答案】D
不等于0 为非正实数 不等于-1
则
【解析】方法1 用排除法令
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知
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所以
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数.
【答案】设A 是一个反对称实矩阵.
是
的一个根，则有非零向量
满足
令
其中
是于是
的共轭复数. 则
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