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一、证明题

1． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的.

【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立.

2． [1]设随机变量，求

[2]设

【答案】利用变换

，证明：

所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令即可得结论.

3． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

即

值已知）的共轭先验分布.

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这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

4． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

对一切的存在，

这就证明了

5． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

其雅可比（Jacobi ）行列式为

合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

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这是指数分布就证明了

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

6． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

7． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

8． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

则

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

,

（此时要

求

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否则均值不存在）, 当r=2