2017年哈尔滨工业大学深圳研究生院831高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明；若不是，则举出反例；
（2）设
都只有一个特征值这里
证明A 与B 相似的充分必要条件是
的特征子空间
分别表示A , B 的属于
【答案】（1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：
显然，A 与B 的特征多项式同为（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以故
最小多项式同为
相似，从而
但由于A 由3个jordan 块
构成，B 由两个jordan 块构成，是两个不同的jordan 标准形，所以A 与B 不相似.
充分性. 记A , B 的jordan
标准形分别为只能有以下3种可能性：
因为A , B 都只有一个特征值所以都
现在，由于因此
故A 与B 相似.
有解当且仅当
必有
其中E 为单位
所以
从而
2． 设A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明矩阵.
【答案】设A 为
如果
则有
有解
矩阵
.
所以又从而可得
如
果
所以有
即
则线性方程
组
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有非零解. 任取一个非零解
则有
所以
可知A 存在可逆矩阵，即
3． 设线性空间V 中的向量组
（1）试问：向量组（2）求向量组【答案】（1）令
且有解.
即矛盾.
线性无关.
是否线性无关？要求说明理由.
生成的线性空间W 的一个基以及W 的维数.
那么
线性相关.
（2）由①式看出
，0）,
且令
且
为W 的一组基.
4． 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解.
（1）
为它的一个极大线性无关组.
线性无关（因为左上角有一个三阶子式不为
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）对系数矩阵作初等行变换
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得到同解的齐次方程组
可解得一般解
其中
是自由未知量，分别取自由未知量为
代入一般解，
方程组的全部解为：（2）
取任意常数. （3）（4
）
取任意常数.
5． 设V 是一n 维欧氏空间，
（1）（2）
的维数等于n-l.
所以
有
所以对
中向量x 及实数k 有
所以因此
是V 的一个子空间.
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得到一个基础解系为
取任意的常数.
是一个基础解系. 全部解为
是基础解系，全部解为及
取任意常数.
为基础解系，全部解
为
是V 中一固定向量，证明：
是V 的一个子空间；
非空.
【答案】（1）因为对V 中两个向量
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