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一、计算题

1． 设随机变量X 服从区间（2, 5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则

，由此得

2． 口袋中有7个白球、3个黑球.

（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列； （2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放人一个白球，此时X 的概率分布列如何. 【答案】X 为首次取到白球的取球次数，则X 的可能取值为1，2, 3, 4. 记球为黑球”，i=1，2, …，10.

（1）由乘法公式可得

将以上计算结果列表为

表

1

（2）如果取出黑球不放回，而另外放入一个向球，则由乘法公式得

为“第i 次取出的

将以上计算结果列表为

表2

3． 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布.

【答案】记X 为掷4次中点数6出现的次数，则X 的可能取值为0, 1，2, 3, 4. 由确定概率的古典方法得

将以上结果列表为

表

1

由以上的计算结果也可以看出:出现0次6点的可能性最大.

4． 设

是来自帕雷托

分布

的样本（

已知），试给出的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

令

取

或

都是的充分统计量.

只，求下列事件的概率.

由因子分解定理，

5． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取

（1）（3）

=“没有一双成对的鞋”； =“恰有二对鞋子”:

（2）=“只有一对鞋子”: （4）=“有r 对鞋子”. 【答案】该问题中样本空间含有样本点数.

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的

（1）要使，发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故

中的样本点个数为

，由此得

（2）要使

发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n -l 双鞋子中取出2（r -l ）双，最

中的样本点个数为

（3）仿（2）思路，

中的样本点个数为

，由此得

，由此得

后从取出的2（r -l ）双中各取一只，故

（4）因为中所含样本点个数为，所以得

无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知

譬如，取n =5，r =2，可以得

6． 若随机变量

【答案】方程

. ，而方程无实根等价于

由此得知.

7． 甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷. 每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷. 试求第n 次由甲掷的概率.

【答案】设事件为“第i 次由甲掷骰子”，记

所以由全概率公式

得

由此得递推公式

所以得

将

代入上式可得

则有p 1=l，