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一、计算题

1． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间

【答案】

是什么？

2． 每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

【答案】设共射击n 次，记事件为“第i 次射击命中目标”，i=l，2，…，n ，则由题设条件知

由此得

两边取对数解得

所以取n=11可满足题设条件.

3． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

【答案】记为第i 颗骰子出现的点数, 列为

表

所以

由此得

4． 在总体N （7.6, 4）中抽取容量为n 的样本, 如果要求样本均值落在（5.6, 9.6）内的概率不小于0.95, 则n 至少为多少？

【答案】样本均值

从而按题意可建立如下不等式

即

即

样本量n 至少为4.

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则独立同分布, 其共同的分布

所以查表,

函

故

或,

5． 甲、乙两人进行象棋比赛，每局甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q=l-p.比赛进行到有一人连胜两局为止，求平均比赛局数.

【答案】设X 为决定胜负所需的局数，X 可取2，3，…等正整数值，事件k-1局时没有一人连胜两局，总是两人轮流胜，所以

利用（1）

（2）

公式，可得

又因为对任意的

总有

故由E （X ）是pq 的严增函数可得

这表明：这种象棋比赛决定最终胜负的平均局数不超过3局，它在两选手势均力敌（p=l/2）时达到上界.

6． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为

7 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求

【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出

譬如, 可使用MATLAB 软件计算上式:在命令行输入

）就表示自由度为

的F 分布在x 处的分布函数.

则给出0.0798,

这里的

则有

, 于是

. 试表示到第

8． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为

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. 利用棣莫-拉普拉斯中心

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.

二、证明题

9． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

10．设总体二阶矩存在,

是样本, 证明

则

由

因而

所以 11．设证:

【答案】注意到

故

为一个样本,

是样本方差, 试

由于,

与

的相关系数为

【答案】不妨设总体的方差为

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