2018年南京理工大学计算机科学与工程学院840高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到 2． 设
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）.
的基础解系. 又由
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
则A 与B （ ）.
阶方阵，且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
则为（ ）.
秩A , 则线性方程组（ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
二、分析计算题
6． 设：
试讨论【答案】
取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解.
（1）当（2）当（3）当
时，原方程组无解. 时.
时，原方程组有无穷多个解，其通解为
其中（4）当
为任意常数.
时，原方程组也有无穷多个解，其通解为
（其中为任意常数）
7． 设向量组
【答案】设组
易知它与
的极大线性无关组分别为
等价，具有秩
及由于
皆小于等于
因此
合成向量
中又极大
的秩分别为
证明：
任一无关的向量部分组中向量数小于等于极大线性无关组的向量数，故线性无关组向量数显然小于等于原向量组中向量数，故
8． 问是否存在n 阶方阵A , B , 满足性变换注意到
，满足
，得
（单位矩阵）? 又是否存在n 维线性空间上的线
，则两边取矩阵的迹，并
在这个基下的矩阵分别为A , B ,
:恒等变换）? 若是，举出例子；若否，给出证明. 矛盾. 所以不存在方阵A , B , 使
【答案】否, 下面给予证明. 对于任意n 阶方阵A , B , 若对于线性变换A , B , 取线性空间的一个基，
并设