2018年曲阜师范大学管理学院764高等代数B(只含线性代数)考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． （替换定理）. 设向量组
且在所得的向量组
r=1时【答案】我们对r 作归纳法，设为
由
，至少一个
不妨设为
则
由此易知现设不妨设
为
等价.
又
能由
则则
为且
由此易
知
等价. 这就完成了归纳法.
2． 设V 为欧氏空间,
则
证明:
是V 的一个线性函数；
③若V 是n 维, 则对其任一线性函数都存在唯一的向量使
【答案】是V 到实数域R 的映射显然. 又设
则由内积性质知:
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线性无关，且可经向量组
在用等价.
可由
与
线性无关. 这时
线性表出，
则替代它们后
线性表出，
. 中存在r 个向量，不妨设就是
与
且定理对
等价.
为r 个无关的向量的情形.
这时且存在
中的
个向量，
与，不全为
线性表出. 由归纳假设
的情形已成立. 我们来讨论在
用
无关，且能由
替代后所得的向量
组
线性表出，设线性无关矛盾. 故
线性表出，就能由
的线性组合，与
这时若所有零，不妨设
与等价也就
与
故②设若从而
是V 的一个线性函数.
即
或
故得证.
令
由于
是线性函数而
是标准正交基, 故
③任取V 的一标准正交基则对V 中任意向量
即又的唯一性显然.
是，
表示T 的值域，
，则有
为
的基，所以
线性无关，且
是多项式
知, ’
有相同的根. 但
是
是
的根, 故a 也是
的根, 即
的特征根.
的根, 则
也是
的根.
因此有
，
，
表示T 的核空间.
的一个基，
3． 设T 是n 维线性空间V 的一个线性变换，
且证明:【答案】而故所以又
从而
4． 设A 为可逆数方阵. 证明:若
【答案】由与从而
其中
令
是直和. 又因为线性无关，
故有
的根, 亦即
5． 求
的根. 使
【答案】用辗转相除法进行计算
.
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以上计算表明
因此
所以
6． 设v 是定义域实数集R 的所有实函数组成的集合, 对于f+g, af ;
则v
成为实数域上的一个线性空间. 设
（1
）判断（2）用
分别将
代入①式得
表示
【答案】（1）令
是否线性相关, 写出理由； 生成的线性子空间,
判断
即
①
是否为直和.
分利用下列式子定义
① ②
解得（2）令
线性无关.
是直和, 即
是直和.
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