2017年伊犁师范学院概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设a 为区间（0, 1）上的一个定点, 随机变量X 服从区间（0, 1）上的均匀分布. 以Y 表示点X 到a 的距离. 问a 为何值时X 与Y 不相关.
【答案】由题设条件知
所以由此方程等价于
从中解得在（0, 1）内的实根为a=0.5, 即a=0.5时, X 与Y 不相关.
2． 设离散总体的分布列为
现进行不返回抽样, 函数）.
【答案】由于N 有限, 抽样是不返回的, 所以样本
中诸的分布列与总体的分布列相
其中
代回原协方差表达式, 可得
同, 但诸间不相互独立, 即此样本不是简单随机样本. 以下我们先求诸Xi 的期望、方差与协方差:
为样本,
为样本均值, 求
与
（表示成N 的
可得方程
又因为
由此可得样本均值的期望与方差
3． 自由度为2的分布的密度函数为
【答案】此分布的分布函数F （x ）为：当
。试求出其分布函数及分位数
时，
当
所此分布的p 分位
数
4． 设曲线函数形式为
【答案】令
满足
：
从中解
得
试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. 原函数化为V=a+bu.
。由此
得
I 时，
5． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
【答案】记T 为此种动物的寿命，
由题意知
所以
6． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定
而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
，其中
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ）
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
7 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．
为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？
【答案】记
为第i 只零件的质量, 由
又因为
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787. 8． 设试找出
【答案】
独立同分布服从
与t 分布的联系, 因而定出的密度函数.
的联合密度函数为
记
。
记
取一个n 维正交矩阵A , 其第一行为元素全为
其余元素只要满足正交性即可. 令Y=AX, 则该变换的雅可比行列式为1, 且注意到:
于是
的联合密度函数为
, 第二行为
由此,
独立同分布于
且
令
则
而