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一、选择题

1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

2． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

【解析】因为当否则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

故选B.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

则A 与B （ ）.

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

使

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

因此A 与B 合同.

二、分析计算题

6

．

已

知

向

量

组

具有相同的秩，且

【答案】由但

线性无关秩

秩

知

可由

与

向

量

•的值.

组

线性表示，求

线性相关.

线性相关，于是

其次，可由线性表示是的一个极大线性无关组，所以^可由

:线性表示，故线性相关. 从而

代入①，得

7． 在欧氏空间中有三组向量

的

，

和

和

证明由题设，可令

. 由于两两正交的非零向量组线性无关，且

如果

是线性无关

均

有

都是两两正交的单位向量组，并且对

一切

【答案】对每一个i ，有

这里

性无关，所以均可逆.

由⑴、（2）可得是上三角矩阵. 令

且时线

（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵仍是上三角矩阵，且上三角阵的乘积仍是上三角阵，

所以

均为规范正交组，所以C 是正交矩阵，即有i

考虑到及这里为下三