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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 试利用

的z 变换求

的z 变换。

【答案】利用z 变换的性质：

现在令

则

收敛域与的收敛域相同。

2． 采用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，要求采用预畸变措施修正频率的非线性失真。已知二阶归一化巴特沃斯模拟滤波器的传递函数为：

已知系统抽样频率为

滤波器的通带截止频率方

请解答下列问题：

（1）数字低通滤波器的通带截止频率是多少?

（2）设计出满足要求的数字滤波器的系统函数的表达式（大于1的数近似成整数）; （3）写出相应的差分方程，并画出系统的直接型网络结构流图。 【答案】（1）己知系统抽样频率为1000Hz ，滤波器的通带截止频率方通滤波器的通带截止频率为:

（2）采用预畸变措施修正频率的非线性失真:

所以系统函数为：

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，所以数字低

（3）因为系统函数为：

对上式求Z 逆变换得差分方程为：

即：

由上式得直接型结构流图如图所示：

图

3． 设x （n ）的长度为N ，且

令

m 为自然数

求H （k ）与X （k ）的关系式。 【答案】令

则

因为

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所以

4． 若【答案】

而

所以

于是

5．

（

为非负整数）代表系统输入/输出间的运算关系。试

求证

问该系统的因果性、稳定性如何？是不是线性系统？ 【答案】假设

则

所以当由于又因为：

所以该系统是非线性系统。

6． 试证明如果

序列【答案】根据已知

为一有限长实偶对称序列，

即

得其

定义为：

则它的

一定也是实偶对称序列。

和为有限值时，该系统是稳定系统。

取决于

的将来值所以该系统不是因果系统。

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