2017年西安工程大学理学院827高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
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【答案】B 【解析】
3． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B*
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分别为A ，B 的伴随矩阵，
【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
二、分析计算题
6． 设角阵.
【答案】由于A 正定，有实可逆阵
为对角阵
对角阵. 7． 设
是n 维欧几里得空间乂的8个单位正交向量组，
（1）证明w 是V 的欧几里得空间的子空间. （2）求W 的基和维数. （3）求w 的正交补.
【答案】（1）显然W 是V 的非空子集，有
（2）在W 中取向量组
注意到
故W 是V 的欧几里得空间的子空间. 因为
正交，于是
使
这时
仍为实对称，则有正交阵
令
则
及
使同时为
方阵A ，B 皆为实对称阵，且A 为正定阵，则有实可逆阵C 使
及
同时为对
由上式右侧矩阵的秩为
其中
因为
所以线性无关
.
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