2018年西安电子科技大学数学与统计学院601数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 估计下列近似公式的绝对误差:
（1）（2）
, 当
当（2）由当
2． 是否存在
由
时, 由
由又知由于是
这与连续, 可知
存在及的连续可导函数
知,
为满足:在
且
则
当
【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,
上严格单调递増, 又
由
存在, .
根据单调有界定理,
从而存在, 必有
矛盾, 所以假设不成立,
时,
时, 绝对误差的估计为
的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式得
【答案】（1）sinx 的麦克劳林公式为
所以这样的函数不存在.
方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当
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知
, 得有
在
上严格单调递增,
时, 有这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.
3． 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与有界点:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）
【答案】（1）经判定可知该点集是有界集, 也是区域, 但既不是开集又不是闭集. 其聚点为中任一点. 界点为矩形[a, b] ×[c, d]的四条边上的任一点.
（2）该集为开集, 不是有界集也不是区域, 其聚点为平面上任一点, 其界点为两坐标轴上的点. （3）该集为无界闭集, 不是开集不是区域, 其聚点为坐标轴上的任一点, 而界点与聚点相同. （4）该集为开集, 且为区域, 聚点为满足集内的任一点和任一界点.
（6）该集为有界闭集, 聚点为闭集中任一点, 界点与聚点相同. （7）该集为有界闭集, 聚点为集合
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中除去x +y＜1部分.
上任一点, 界点为上的所有点.
（5）该集为有界开集, 界点为直线x=2, y=2和x+y=2所围成的三角形三边上的点, 聚点为开
或中的所有点, 界点为聚点
（8）该集为闭集, 没有聚点, 界点为集合
4． 求函数可微性.
【答案】
在原点的偏导数
均为整数）中的全体点.
上的点, 界点与聚点相同.
（9）该集为非开非闭的无界集, 聚点为点（0, 0）及曲线
与, 并考察在（0, 0）的
若
在（0, 0）点可微, 则
且
而
当
时,
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从而 5．
arctan
.
所以
在（0, 0
）不可微.
【答案】
原式
6． （1）
（2）
【答案】（1）先取对数, 再用罗比达法则。因为
f
所以
（2）由罗比达法则, 得
.
二、证明题
7． 设在证明和一切
在
【答案】因为
, 都有
内成立不等式
上一致收敛且绝对收敛. 关于
为
一致收敛, 所以任给
, 所以
即
关于
一致收敛且绝对收敛.
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． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:
（1）
（2）
考察正项级数
的收敛性，因为
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. 若
, 存在
在上一致收敛,
, 对任何
【答案】 （1）设