2017年四川师范大学数学与软件科学学院850数学专业综合[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设则必是则存在一点
使
取
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
在I 上的最大值点，
在
使得
(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
证明：若是的极大(小) 值点，
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
上存在最小值m 。
因为
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
2． 设f (t ) 在区间(a ，b ) 内连续可导，函数
定义在区域【答案】因为
上，对任何
在(a , b) 内连续可导，所以当
使得
又由于当
可见对任意的时
且
总存在介于x 与y 之间，使得
在c 处连续，从而
定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .
中必存在有限
有
且
时，在
或
上，应用
拉格朗日定理知：存在
3． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯
【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].
(2)
为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在
定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.
若
中任意一子列的极限. 由此可知，存在
中无收敛子列，则对任意
的在
中至多只含
中存在有限个开区间
中的有
不是
反证法. 设数
列
有
中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族显然根据限项，这与
为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，的构造性质可知，中，
中也只含有
中的有限项，从而[a, b]中也只含有
矛盾，所以结论得证.
4． 证明：对于由上、下两条连续曲线的平面图形A , 存在包含A 的多边形的极限存在且相等。
【答案】设等分分割
与以及两条直线
使得当
与所围
时，它们的面积
以及被A 包含的多边形
取
于是，分别取
与
相连构成多边形
在
上的每一段，相连构成多边形包含A ，A 包含
又因为
而
与
奋
：
上连续，因而可积，且
因此
5． 设曲线明
【答案】由对称性知
的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令
证
分别取
与在
上的每一段，
因此
6． 用方法证明
:
【答案】则
因此，
当
时，便有
即
二、解答题
7． 求下列极限：
【答案】（1）极限
所以，
（2）当（3）由于
时
，
所以
：不妨设
则
所以
（4）
（5）
（6）因为
由f （X ）在其有定义的邻域内的值来决定. 而当时
，