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一、综合题（计算、解答、证明）

1．

假设某模拟滤波器器

【答案】根据已知条件

是一个低通滤波器，

又知

可得：

即

由于原模拟低通滤波器以字滤波器是高通滤波器。 2． 我们希望利用长度为

为通带中心，由上可知，当

时，

对应于数字频率

故数

试判定该数字滤波

是低通、高通或带通滤波器。并说明原因。

的FIR 滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采

的L 点

用重叠保留法通过DFT （即FFT ）来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M= 100 个采样点），但相邻两段必须重叠V 个点，然后计算各段与（本题取⑴求V ; （2）求 B ;

（3）确定取出的B 个采样应为先以

入序列

与各段输入的线性卷积重叠后

中的哪些样点。

的序列标号为相等，所以

中第0点到第48点（共

分析问题，因为当

的50个样值点完全与第m 段输

【答案】为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列

才与真正的滤波输出

）循环卷积，得到输出序列

中选取B 个样值，使每段选取的B 个样值连接得到滤波输出

表示第m 段循环卷积计算输出。最后，从

49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的第m 段，即又无多余点的

所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连接，得到不问断必须重叠100-51 =49个点，即

上述结果也是正确的。我们知道

因为

长度为

所以n 从21到127区域无时域混叠

当然，第49点到第99点二者亦相等，所

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下面说明，对128点的循环卷积

以，所取出的51点为从第49点到第99点的综上所述，总结所得结论：

选取中第49〜99点作为滤波输出。

读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。 3． 下列系统中，表示输出，表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否时不变？

【答案】设（a ）系统定义为：

线性组合的变换：

变换的线性组合：

因为a 、b 是任意常数，不可能使3恒等于

将将

先移位后变换：

先变换后移位：

所以该系统是时不变的。 （b ）系统定义为：

线性组合的变换：

变换的线性组合：

显然将将

因此该系统是非线性的。

先移位后变换：

先变换后移位：

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是两个任意序列，a 、b 是两个任意常数。

故该系统是非线性的。

所以该系统是时不变的。 （C ）系统定义为：

线性组合的变换：

变换的线性组合：

因为

因此该系统是线性的。

将X （n ）先移位后变换：

将

先变换后移位：

所以该系统是时不变的。

4． 分析判断下列系统是否为稳定系统、因果系统、线性系统。 （1）（2）

【答案】（1）①设定的。 ②当当：③设

时，系统是因果系统； 时，系统是非因果系统。

由于

由上可知该系统是线性系统。

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有界，

即

则输出

有界，所以该系统是稳