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一、填空题

1．

【答案】

_____。

【解析】分区域去掉被积函数中的绝对值，则

2． 设曲线

【答案】216π 【解析】

解法一：再用参数方程化为定积分：

解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线

，分别位于上半平面与下半平面，并

则有

，取逆时针方向，则

_____。

，均为逆时针方向，见下图。

其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。

围成的区域记为，它们的面积相等为3π。在

上用格林公式得

解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 3．

【答案】

_____。

对y 为偶函数，则。

【解析】交换积分次序，得

4．

【答案】-3π

【解析】按题中条件旋转所得的旋转曲面的方程为

，则

5．

设

是由曲线

绕Z

轴旋转一周而成的曲面与平面

和

所围立体，

则

_____，其中为

绕x 轴旋转一周所得曲面的外侧。

_____。

【答案】旋转面方程为

，则

【解析】用直角坐标下先重积分后单积分的方法计算。

6． 若级数

【答案】发散 【解析】如果

收敛，

收敛，

发散，则级数

=_____。

与题设矛盾。

7． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

（3）绝对收敛的反常积分 8． 已知则

【答案】0 【解析】由

可知

_____。

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

，其中

可微，

连续且

连续，

故

则

9． 设

C

为上半圆

周

=_____。

【答案】

，则

从

到

的弧段，

则

【解析】补线段