2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当
时，
当故不论（2）（3）（4）（5）（6）
2． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
时，
为何值，均有
；
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，
四面体的最小体积为
3． 当x →0时，
【答案】
与ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
，
∴n=2，且由
，故a=7。
n
4． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
5． 利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）确定。
【答案】（1）
，其中闭区域
，其中由不等式
是由球面
所围成的闭区域；
所
（2）在球面坐标系中，不等式为亦即
。因此
，
即
可表示为
（图）
，即
；
变为
，
即
变
，
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