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一、计算题

1． 设

来自贝塔分布族

的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

是充分统计量.

2． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h ）都服从同一指数分布，密度函数为

试求：此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

3． 对冷却到-0.72°C 的样品用A , B 两种测量方法测量其溶化到0°C 时的潜热，数据如下：

方法A :

方法B :

. ）要检验

和

本题中，n=13, m=8，直接计算可得，

因此有

而

因此应拒绝原假设，即两种测量

方法的平均性能有显著性差异，检验的p 值为0.0036.

其中

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ,

并设

可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为：

4． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.

【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.

由题设条件

于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].

5． 设

为来自b （1，p ）的样本，试求假设

利用微分法，在上p 的MLE 为

的似然比检验. 两个参数空间分别为则似然比统计量为

通过稍显复杂的求导可知，当

时，

为的严增函数，而当

时，

关于的，

查表知

，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95

【答案】样本的联合概率函数为

为的严减函数（对此性质，也可以画出

，从而拒绝域

图形看出）

这说明此时的似然比检验与传统的关于比率p 的检验是等价的，其中临界值水平确定.

6． 指出下列事件等式成立的条件.

（1）（2）AB=A. 【答案】⑴（2）

由显著性

7． 设A ，B 为两事件

，

【答案】由条件概率的性质知

其中

而

代回原式，可得

8 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．

为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？

【答案】记

为第i 只零件的质量, 由

得

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.

二、证明题

9． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

10．设0

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

11．设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

12．任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

独立，由此得

即

（1）试用类似方法表示三个事件之并