2018年厦门大学统计系868概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
为的任一
即成功概率p 的后验分布为塔分布族.
3． 设为独立随机变量序列，且
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
证明:服从大数定律.
相互独立，且
【答案】因
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
5． 证明:对正态分布
的泊松分布.
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
6． 对于组合数，证明:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
；
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
7． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得几乎处处成立，即
8． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令