当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

3． 设

A. 合同且相似

第 2 页，共 44 页

则A 与B （ ）.

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

4． 设行列式

所以A 的特征值为3，3，0；而

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

【答案】（C ） 【解析】设

二、分析计算题

6． P 是数域

，

【答案】（1）

（2）由上一问题得

第 3 页，共 44 页

E 是单位阵，且AB=A-B, 证明：

两边消去E 得AB=BA.

7． 求一个次数最低的实多项式，使其被

除佘式为x+1，被

，h （X ），使得

【答案】设f （x ）为所求，由带余除法定理知，存在多项式g （x ）

，显然令取x=i代入（1-18）得于是a=3，b=l.直

接验证可知

为所求.

8． 设A 为

矩阵. 证明：

【答案】令

则由分块矩阵乘法与矩阵乘满秩方阵秩不变可知：

由此即得（17）. 9． 设记为

是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使证明：

①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中，【答案】①因为再若

且

故

在同一基下的矩阵相似. 又若

则

因此，线性变换的相似关系是等价关系. ②设

在基

下的矩阵为

若

且

即

与

相似.

由上倒推可得

使

【答案】设

两两互素. 下证（用数学归纳法）（19）成立.

第 4 页，共 44 页

则称与相似，

则即

又S 在该基下矩阵为C. 则

由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射，故

反之，若

10．证明:多项式

两两互素的充要条件是，存在多项式