2018年江苏大学财经学院886概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 在20世纪70年代后期人们发现，酿啤酒时，在麦芽干燥过程中会形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ），20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥讨程，下面为老、新两种过程中形成的NDMA 含量（以10亿份中的份数计）:
表
设两样本分别来自不同的正态总体，并假定两总体方差相等，两样本独立，分别以老、新过程的总体的均值，试检验（
分别为其样本方差，则在原假设又
检验拒绝域为从而拒绝域为
，现由样本观测值可算得
从而检验统计量的值为于2
2． 设总体为估计.
【答案】由题意知，观测值为正的频率
下面计算观测值为正的概率. 当总体为
其中为标准正态分布的分布函数. 利用频率替换概率的方法有这给出参数的矩估计为
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表示
）:的无偏估计为
， ，其中
分别为其样本均值，
为两个总体的共同方差，
. ，
【答案】以X ，y 分别表示老、新两种过程下的观测值，
成立下有
，故在原假设成立下，
，现取
. 查表知，
由于观测值落入拒绝域，故拒绝原假设，接受备择假设，即老、新方法在NDMA 含量的差大
现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求的
时，
譬如，若设
则由上式知是标准正态分布的
3． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率 （即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使知道
结果又是如何？
是来自二点分布
的一个样本，就是样本中购买
是的置信水平
为0.95的置信区间？其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事先
【答案】对第一个问题，设
分位数，
此种商品的顾客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在未知时，有
，从而
即
这说明
要求该置信区间的长度不超过2d ， 即得
若
对第二个问题，当已知由于
在
当
时可分别算得
（或己知
是增函数，所以
.
，处理方法完全一样）时，，从而
这说明
间.
类似地，要求该置信区间的长度不超过2d , 即得到譬如，若已知
（即
），则
，仍取
. ，
.
，
，
.
是
的置信水平
的置信区
样本量随d 的增加（精度减少）迅速降低.
是的置信水平
的置信区间.
于是关于样本量的要求化为当
时分别算得
与完全未知情况相比样本量约减少
由此可见，若对事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过
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那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
4． 设曲线函数形式为给出；若不能，说明理由.
【答案】不能. 此处a 是未知参数，即取
, 这样的变换是行不通的，因为这样变换
后的v 无法观测.
5． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数，以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为
试求条件分布列
【答案】先求X 的边际分布列
所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得
这是二项分布
6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
【答案】设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则为“3个代表全为男工”，因为
所以
7． 设随机变量X 与V 相互独立，且
试证:
与
相互独立，且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求
的联合密度函数，因为
的反函数为
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，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试
且变换的雅可比行列式为