2017年中国民航大学中欧工程师学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 2．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1 是
的一个特解，所以选C.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
4． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
5． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
=（ ）.
二、分析计算题
6． 设m ，n 是自然数，证明：
这里
【答案】必要性：若由故
充分性：若
V ，则存在整数u ，使得
设
则
于是
7． 用
有次数大于0的公因式
表示将行列式D 的第i 行
换成
矛盾，故
（其余行不变）后所得的
则
于是
这与
矛盾，
有公共根
行列式，其中
表示
在D 中的代数余子式
元素都换成1后（从而第j , n 列相同）且按此列展开知
：
则
证明：【答案】用故
将D 的第j 列
又 显然
故
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