2017年华北电力大学(北京)数理系892高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
.
则
也不是线性变换，
比如给
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设
并记A 各列依次为
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由于
又由方法2:设考虑到
不妨设由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 二、分析计算题 6． 问：a , b满足何条件时 【答案】由于 故 因此，当2ax+b=0即a=b=0时当 时，用 除. 得 因此，当 ，即 时得 故此时f （X ）有重因式，且 ，为其2重因式. 也可逆，并求 可逆，且 8． （1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的； （2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基. 【答案】（1）设 及 是欧氏空间V 的两组基. 这两组基的度量矩阵分 第 3 页，共 50 页 有重因式？ 显然有重因式. 7． 设A 、B 、A+B均为n 阶可逆阵，证明 ： 【答案】因为由已知得 别是A ，B. 再设由 对 则 设 于是 到的过渡矩阵是C. 那么设 所以不同基下的度量矩阵 的度量矩阵是合同的. （2）设V 是一个n 维欧氏空间，任取V 的一组基是A. 因为A 是正定矩阵，因此有可逆矩阵C 使 以C 为过渡矩阵，得到V 的另一组基 9． 设A 为 而且 的度量矩阵为E. 所以 是V 的一组标准正交基. 这说明任一欧氏空间都有标准正交基. 实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P , 使得 其中 且秩 【答案】因为AA' 乒正定，从而存在正交阵P , 使 由于令 不失一般性，可设 由②得 将P 分块. 令 则 由于P 为正交阵，因此 令又因为由⑦可得 由于秩 矩阵 但 因此这样由 由于 有m —r 个线性无关的解. 将它们正交单位化后， 构或可得 从而Q 为正交阵. 并由④⑨式得 第 4 页，共 50 页 用6左乘，实矩阵，且 _右乘④式两端得 . 则 所以