2017年华北电力大学(保定)数理系807高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
.
则
也不是线性变换，
比如给
3． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
中选三个向量组
从而否定C ,
故选B.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设V 是数域P 上n 维线性空间，T 是V 的线性变换. 证明：存在V 的线性变换S , 使得
【答案】设T 的秩为r , 则T 的零度为
在
中取基
将其扩充成V 的基
由
的基
而T 的秩为r ，故’
对于V 中的n 个向量
线性无关，将其扩充成V
存在唯一的线性变换S ，使
下证TST=T, 只要证它们在（7—4）下的像皆相同即可，事实上
7． 设
上两个次数大于0的多项式.
证明：若
则
使
其中并且满足这样条件的是唯一的.
【答案】因为故存在
使
由于
的次数均大于0，故
代入式（1）得
由此等式知
从而有
设还有
其中
式得
于是
结合知
但
所以
从而
同理
8． 设T 是欧氏空间V 的一个变换. 证明：若
则T 是V 的线性变换，从而是对称变换. 【答案】因为（7）成立，故对
有