2017年华北电力大学(保定)数理系807高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2．
设
所以向量组
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
线性无关.
的一组基, 则由
基
到基
线性无关.
【答案】（A ）
3． 设A 是
A. 如果
矩阵，则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
B. 如果秩则有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的3个线性无关的解，为任意
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组的两个线性无关的解.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
二、分析计算题
6． 证明：如果变子空间.
【答案】设由于所以
7． 设关. 设有m 个数
者的情形，若另有一组数
【答案】对由于性表出，
故若又笔
皆不为零. 因
设
则
由于
8． 设
其中（1）秩（2）若
的系数
由第一段的论证得所有
为3维列向量，矩阵
分别是
线性相关，则秩
证法
2
是n 维欧氏空间的一个正交变换，那么是
的一个不变子空间，
是
使
的不变子空间的正交补也是
中任一向量
及
的不
的正交补. 对
即有
中任一向量
限制在上也是可逆变换，故有即
也是
的不变子空间.
个向量皆线性无皆不为零. 在后
中任意m-2个向量线
为n 维线性空间V 中的线性相关的向量组，但其中任意
使
或者使不妨设
则则
或者
若有某
中任意m_l个向量线性无关，不能被
即
的转置，证明：
【答案】（1）证法
1
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