2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1．
设
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
由
，得
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
，即
。
2． 求由平面y=0，y=kx（k>0），z=0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
【答案】如图所示，记
，则
其中a , b 为常数，又
设
图
3． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：
【答案】（1）
因为
所以
而级数（2）
收敛，从而原级数在
因为
上一致收敛。 所以
而级数（3）
收敛，从而原级数在
由于当
上一致收敛。 时，
故
而级数（4）
（-10, 10）上一致收敛。
（5）
由于
故
而级数
收敛，从而原级数在
上一致收敛。
收敛，故原级数在
上一致收敛。 而级数
收敛（收敛于
）故原级数在
4． 估计下列各积分的值:
【答案】（l ）在区间[1, 4]上,
, 因此有
（2）在区间
,
（3）在区间即
上, 函数, 故有
（4）设（0）,
, 则
,
在[0, 2]上的最大值、最小值必为f
, 因此有
是单调增加的, 因此
,
, 因此有
, f （2）中的最大值和最小值, 即最大值和最小值分别为f （2）=2和
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