2018年曲阜师范大学管理学院766高等数学C之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
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2．
设二次型
（1）证明二次型
f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1
）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明
f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2
）证明：设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为 3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解； （Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0
有非零解.
（
Ⅱ）由（
Ⅰ）知向量.
又且另外，由
故可知
为A 的特征值，
为对应的特征向量.
为A 的3个
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量
； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】（Ⅰ）由于A 为
3
阶方阵，
且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
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线性无关的特征向量，
记
4．
设矩阵
则
为4的2重特征值
，为4的单重特征值.
即A
相似于矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5． 写出下列二次型的矩阵：
（1
）
【答案】
⑴记
故f
的矩阵为
则
（2）与（1）相仿
，
故f
的矩阵为
6．
设D 的（i , j
）元的代数余子式记作求
【答案】
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