2018年青海省培养单位青海盐湖研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
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即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，
线性方程组有解，
即存在矩阵C ,
使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
已知
，求
为任意常数
.
【答案】
令则且有1
所以
4．
设A
为
的解为【答案】由
矩阵且有唯一解.
证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵
，
且方程组只有零解.
使.
所只有零
有惟一解知
则方程组. 即
利用反证法，假设以有
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
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解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
即可逆.
二、计算题
5． （1
）设
求
（2
）设
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵
⑴由
求得A
的特征值为对应
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得单位特征向量令
则P 是正交阵，且有
（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式
于是A
的特征值
因为A 是对称阵，
则存在正交阵也即
使