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一、简答题

1． 回归模型中引入虚拟变量的作用是什么? 有哪几种基本的引入方式? 它们各适用于什么情况?

【答案】（1）在回归模型中引入虚拟变量的作用主要是为了反映某个（些）定性因素对解释变量的影响。

（2）虚拟变量作为解释变量引入模型有两种基本的方式:

①加法方式，主要适用于定性因素只对截距项产生影响的情形;

②乘法方式，主要适用于定性因素对斜率产生影响的情况。

加法方式和乘法方式同时使用，则可以同时测定定性因素对截距项和斜率带来的影响。

2． 联立方程计量经济学模型的单方程估计有哪些主要的方法? 其适用条件和统计性质各是什么?

，间接最小【答案】联立方程计量经济学模型的单方程估计方法主要有:狭义的工具变量法（IV ）

二乘法（ILS ）和两阶段最小二乘法（2SLS ）。

狭义的工具变量法（IV ）和间接最小二乘法（ILS ）只适用于恰好识别的结构方程的估计。两阶段最小二乘法（2SLS ）既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程。

用工具变量法估计的参数，一般情况下，在小样本下是有偏的，但在大样本下是渐近无偏的。如果选取的工具变量与方程随机误差项完全不相关，那么其参数估计量是无偏估计量; 对于间接最小二乘法，对简化式模型应用普通最小二乘法得到的参数估计量具有线性性、无偏性、有效性。通过参数关系体系计算得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的; 采用二阶段最小二乘法得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。

3． 为什么说间接最小二乘法（ILS ）和二阶段最小二乘法（2SLS ）也是工具变量方法?

【答案】分别采用狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法的估计量分别为:

可以看到，三种结果是用不同的工具变量方法估计得到的，区别仅在于工具变量选取不同。比较

，他们选取了同样一组变量X 作为结构

狭义工 量法和间接最小二乘法的参数估计量（l ）和（2）

方程中解释变量的工具变量，只是次序不同。比较二阶段最小二乘法的估计量和间接

，间接最小二乘法选取X 作为结构方程中解释变量最小二乘法的参数估计量（3）和（2）

的工具变量，二阶段最小二乘法选取x 的线性组合

中内生解释变量Y 0的工具变量，选取X 0作为自己的工具变量。 作为结构方程

对于恰好识别的结构方程，狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法三种方法是等价的。

二、计算题

4． 某地区供水部门利用最近26年的用水年度数据得出如下估计模型:

式中，w 表示用水总量（百万立方米）; H 表示住户总数（千户）; 表示总人口（千人）; 表示人均收入（元）; Pr 表示价格（元/100立方米）; R 表示降雨量（毫米）。

（1）根据经济理论和直觉，预期回归系数的符号是什么（不包括常量）? 模型符号与预期符号相符吗?

（2）在5%的显著性水平下，请进行变量的t 检验与方程的F 检验，并判断t 检验与F 检验结果相矛盾吗?

（3）估计值是无偏的、有效的、一致的吗? 详细阐述理由。

【答案】（1）在其他变量不变的情况下，城市的人口越多或房屋数量越多，则对用水的需求越高，故H 和的期望符号为正; 收入较高的个人可能用水较多，故的预期符号为正，但它可能是不显著的; 如果水价上涨，则用户会节约用水，故

估计的模型除了的预期符号为负; 如果降雨量较大，则草地和其他花园或耕地的用水需求就会下降，故R 的预期符号为负。 之外，所有符号都与预期相符。

（2）①对变量进行t 检验:

查t 分布表知，在自由度为20，显著水平为5%的情况下，临界值为2.086，并且临界值均大于所有参数估计值的t 值的绝对值，因此在10%的显著水平下，变量在统计上是不显著的。 ②对方程进行F 检验:

查F 分布表知，在分子自由度为5，分母自由度为20，显著水平为5%的情况下，临界值为2.71，由于，因此在5%的显著水平下，回归系数在统计上是联合显著的。

都是高度相关的，这

在各年中没有太大变化，表现为不显著。 t 检验与F 检验结果相矛盾可能是由于多重共线性造成的，比如H 、将使它们的t 值降低且表现为不显著;

（3）多重共线性往往表现的是解释变量间的样本相关现象，在不存在完全共线性的情况下，近似共线并不意味着基本假定的任何改变，所以OLS 估计量的无偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE 估计量。但共线性会导致参数估计值的方差大于不存在多重共线性的情况。

5． Sen 和Srivastava （1971）在研究贫富国之间期望寿命的差异时，利用101个国家的数据，建立了如下 的回归模型:

其中:X 是以美元计的人均收入; Y 是以年计的期望寿命:D t 为贫富国虚拟变量。

Sen 和Srivastava 认为人均收入的临界值为1097美元（In 1097=7），若人均收入超过1097美元，则被认定为富国; 若人均收入低于1097美元，被认定为贫穷国。（括号内的数值为对应参数估计值的t 值）。

（l ）解释这些计算结果。

（2）回归方程中引入的原因是什么? 如何解释这个回归解释变量?

（3）如何对贫穷国进行回归? 又如何对富国进行回归?

【答案】（l ）①依据给定的估计检验结果，由t 值可知，对数人均收入对期望寿命在统计上并没有显著影响，截距和虚拟变量在统计上对希望寿命存在显著影响。

2②根据拟合优度R =0.752可知，模型对观测值的拟合程度较好。

③贫富国之间的寿命存在差异:

（2）回归方程中引入虚拟变量的原因在于:从截距和斜率两方面来说明期望寿命的差异。该虚拟变量可以 解释为对期望寿命的影响存在截距差距和斜率差距两方面的共同因素。

（3）对穷国进行回归时，采用的回归模型是:

对富国进行回归时，采用的回归模型是:

估计。

【答案】（1）估计的一致性是指，随着样本容量的增加，即当

敛于参数的真值，即有

（2）对于一元线性回归模型。 ，可推导出正规方程组:

由于与相关，因为用替换第二个正规方程中的后一个，可得:

时，参数估计量依概率收，其中，其中X i >1097。 是的一致。 6． 什么是估计的一致性? 试通过一元模型证明对于工具变量法的斜率的估计量