2018年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． （1）设
问：（i ）（ii ）（2）
为何值时，A 为可逆阵；
是n 阶可逆阵，
是A 的伴随矩阵，即
其中
表示A 的元素
【答案】 （1）
（i ）当（ii ）当（2） 已知
时，
，即A 为可逆矩阵 时，A 为正交矩阵. 即当，所以
. 即 , 使
, 是否存在使得
由过渡矩阵A 的第i 行不全为0, 设
所以
记
. 使
. . 因为
为V 的基. 为V 的基, 为什么？
时，A 为正交阵. 是可逆矩阵. 关于
的证明.
的代数余子式
，试证明
是可逆矩阵，
并且
为何值时，A 为正交矩阵；
2． 设线性空间V 的两组基为
（1）求证:（2）如果【答案】（1）设
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上式右侧的n 阶矩阵可逆, 故（2）结论成立. 事实上:由（
1）存在使则
是V 的基; 再由（1）存在使
是V 的基.
仍是V 的基, 这里
是1, 2, 3的一个排列.
是V 的基, 这里
显然.
3． （
1）设
且求
（2）求正变阵T ,
使T 下合同于对角阵.
令
问
是什么曲面？
【答案】 （
1）令
则
再用除（带余除法）得
由哈密尔顿-凯莱定理及①式有
再求即得
（2）计算可得. 所以
当时, 得线性无关特征向量
当
时, 得特征向量
由于它们已经正交, 只需将其单位化可得
①
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再令则丁为正交阵, 且
再作正交变称
其中
则由
, 有
它表示单叶双曲面.
4． 在数域K 上的4维向量空间
内, 给定向量组
（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成的维数和一组基. 【答案】（1）（2）由于秩
（3）
5． 在R 4中，求
. 且
之间的夹角 （内积按通常定义）. 设
【答案】
6． 设A 为实反对称矩阵
，则
【答案】由阵，则
故
可逆，且只要证明
可逆，则
的特征值为
的子空间
线性相关.
的对应分量不成比例, 因而线性无关. 又
可由线性表出, 故
为此生成子空间的一组基.
是正交矩阵. 可逆. 由A 是实反对称矩
是实反对称矩阵，其特征值是0和纯虚数，设为