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一、计算题

1． 求抛物线

的渐曲线方程。 【答案】由

, 及

, 知

故抛物线少=2Px的渐屈线方程为

其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为

2． 设

【

答

案

3． 当x →0时，

与ax n

为等价无穷小，求n 与a 的值。

【答案】

，

∴n=2，且由，故a=7。

4．

设

其中a , b 为常数，

（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：

【答案】（1）由题意得

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】

又

设

由，得

（2）令

故

即g （x ）满足微分方程①，又

故g （x ）也满足初始条件②。 因此

5．

设

的表达式：

【答案】

注:

6． 设正项级数

和

都收敛，证明级数

收敛，故有从而

故由比较审敛法知

7． 求下列欧拉方程的通解：

【答案】（1）令（D +2D+1）y=0

该方程的特征方程为

有根

于是该方程的通解

2

，即。

写

出

也收敛。

由极限定义知，存

及

【答案】根据题设条件知级数在正函数N ，当n ≥N 时，有

收敛。

即并记则原方程可化为即

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故原方程的通解为

（2）

令

即

不是特征方程的根，故可

令

中并消去

于是得

即原方程的通解为

8． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系

式

，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））

处的切线方程。

【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而

故由于

于是

，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））即

9． 根据导数的定义，求

的导数。

时，

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并

记则原方程可化

为

有根

即

故齐次

该方程对应齐次方程的特征方程为

方程的通解为

因

是非齐次方程的特解。代

入

得

即

【答案】由导数的定义知，当