2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]之高等代数考研冲刺密押题
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一、计算题
1． 用
函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：
，即
，
在n>1
（1）（2）（3）
【答案】（1）令时都收敛。
（2）令当p>-1时收敛。
（3）令当n>0时，当n<0时，故
当
时收敛。
，即
，
，即
，
3
2． 一物体按规律x=ct作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
，阻力为，故
，由此得到
。
。
3． 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.
【答案】设球面方程为
是它的内接长方体在第一卦限内的一
个顶点，则此长方体的长、 宽、高分别为2x ，2y ，2Z ，体积为
令
由
解得，代入，得，故为唯一可能的
时，
极值点。由于内接于球且有最大体积的长方体必定存在，所以当长方体的长、宽、高都为其体积最大。 4． 已知
【答案】
由于因此，
，故
。
。
，求f ’（x ）。
3
5． 己知某车间的容积为30×30×6m ，. 现以含CO 20.04%其中的空气含0.12%的CO （以容积计算）2的新 鲜空气输入，问每分钟应输人多少，才能在30 min后使车间空气中CO 2的含量不超过0.06%?（假定输入的新鲜 空气与原有空气很快混合均匀后，以相同的流量排出. ）
，则【答案】设每分钟输入v （m ）的空气. 又设在时刻t 车间中CO2的浓度为x=x（t ）（%）在时间间隔[t，t +dt]内，车间内CO 2的含量的改变量为
即
且
即
代入初始条件
依题意，当t=30时，
将
代入上式，解得
3
将上述微分方程两端积分，得
可得
于是有
故每分钟至少输入新鲜空气 6．
设
；
又
。试利用二重积分的几
，其
中，其中
何意义说明柱体位于
与之间的关系。
、顶为曲面:的曲顶柱体
。由此可知
的曲顶
的体积（图）. 由于
分成四个
表示底为
、顶为曲面:
【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积; 上方的曲面:
关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将
等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为
图
解法二:
设
关于x 是偶函数，故
又由于
关于X 轴对称，被积函数
关于y 是偶函数，故
从而得
7． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
。由于关于y 轴对称，被积函
数
,
由于