2018年沈阳工业大学理学院611数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 将函数展开为正弦级数
.
所以由收敛定理, 在
上
当x=0或时, 上式右端收敛到
2． 判断积分
【答案】对
有
再由
3．
一物体在某介质中按
作直线运动, 介质的阻力与速度
的平方成正比. 计算物体由x=0
收敛, 可得
收敛.
的敛散性.
在
上展开成正弦级数.
【答案】对f （x ）作周期性奇延拓, 得一以为周期的函数, 因f （x ）按段连续, 故可将f （x ）
移至x=a时克服介质阻力所作的功.
【答案】
其中
,
.
, 故
4． 设曲线方程
（1）（2）【答案】
； .
, , 求它在下列点处的切线方程与法线方程:
（1）
于是曲线在
点
即
（2）
于是曲线在
处的切线方程为
法线方程为
5． 计算曲线积分
其中L 为圆周:
L 的方向是:从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】
6． 试写出下列类型极限的精确定义:
（1）（2）
,
,
.
即
, 法线方程
为
处的切线方程
为
, 即
【答案】（1）设得当
且
以A 为极限, 记为
（2）设使得当
则称当
且
为D 上的函数, A 是一个确定的数. 若对任给的正数总存在正数M , 使
时,
恒有
成立,
则称当
时,
函数
总存在一个正数
为D 上的函数, A 是一个确定的数, 如果对任给的正数
时, 恒有
时
,
以A 为极限, 记为
成立,
二、证明题
7． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点
使 得
【答案】不妨设
. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而
若若
, 则由上式, 则必大于0, 于是
由介值性定理, 存在
, 使得
即
8． 证明曲线
【答案】设
上任一点的法线到原点距离等于a.
所对应的点为
. , 则
法线斜率为
化简得
, 所以过点
的法线方程为
. 原点（0, 0）到法线的距离
. 于是任取
即可.
.
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