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一、证明题

1． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

2． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

3． 设0

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

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独立，由此得

即

4． 证明公式

其中

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证. 5． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

6． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

，求

，证明：

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这就证

中抽取的简单样本,

试证

为充分统计量.

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

有

再由本节第3题知

7． [1]设随机变量

[2]设

【答案】利用变换及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令即可得结论.

8． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

【答案】对任意的即

结论得证.

二、计算题

9． 设随机变量x 与y 相互独立，x 的概率分布为

（I

）求

Y

的概率密度为

（II ）求X 的概率密度f （z ）. 【答案】（I ）

，则其值为非零时z 的取值区间为[-1, 2]. （II ）设z 的分布函数为F （z ）当z<-1时，F （z ）=0； 当z>2时，F （z ）=0；

当

时，

所以z 的分布密度函数为

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