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2018年华东理工大学理学院818量子力学考研仿真模拟五套题

  摘要

一、证明题

1. 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符? 【答案】以表示的本征值

由此得

2. 粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

(常数),

同理,可得

因此:

所以有:

试证明

的不确定关系

表示所属的本征函数,则

即是实数。

因为是厄密算符,于是有

二、计算题

3. 已知(1)利用(2)求

的本征态

是泡利矩阵,表象中的表达式,求

可由

的本征态经绕x 轴转动

表象中的本征态矢

试由此

角的坐标变换而得,即

表象的表达式,并与(1)所得结果比较。

【答案】(1)易知:

本征矢

(2)由题意可得:

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同理,可得:

可见,两种方法得到的本征态相同。

4. 对于一维无限深势阱(1)写出单粒子能级

和波函数

的全同粒子在此势阱中,写出此系统基态和第一激发态的

(2)如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。

【答案】二电子体系,总波函数反对称。一维势阱中,体系能级为:

(1)

基态:

空间部分波函数是对称的

:自旋部分波函数是反对称的:

总波函数:

(2)第一激发态:空间部分波函数:自旋部分波函数:

二电子体系的总波函数:

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基态不简并,第一激发态是四重简并的。

5. 假设一个定域电子(忽略电子轨道运动)在均匀磁场中运动,磁场S 沿轴正向,电子磁矩在均匀磁场

中的势能表示

这里

为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵

(1)求定域电子在磁场中的哈密顿量,并列出电子满足的薛定谔方程:(2)假设(3)求

时,电子自旋指向x 轴正向,即时,电子自旋指向y 轴负向,即

时,自旋的平均值。

的几率是多少?

【答案】(1)忽略电子轨道运动,其中,所以哈密顿为:薛定谔方程为:(2)在

是玻尔磁子。

表象中求解,自旋波函数可表示为:

即:

其中,设

因此可得:

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时,电子的自旋指向x 轴正向,对应波函数为