2018年华东理工大学理学院818量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1. 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符? 【答案】以表示的本征值
由此得
2. 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
(常数),
同理,可得
因此:
所以有:
试证明
的不确定关系
:
表示所属的本征函数,则
即是实数。
因为是厄密算符,于是有
二、计算题
3. 已知(1)利用(2)求
在
的本征态
在
是泡利矩阵,表象中的表达式,求
在
可由
的本征态经绕x 轴转动
表象中的本征态矢
试由此
角的坐标变换而得,即
表象的表达式,并与(1)所得结果比较。
【答案】(1)易知:
设
本征矢
则
即
(2)由题意可得:
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同理,可得:
可见,两种方法得到的本征态相同。
4. 对于一维无限深势阱(1)写出单粒子能级
和波函数
的全同粒子在此势阱中,写出此系统基态和第一激发态的
(2)如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。
【答案】二电子体系,总波函数反对称。一维势阱中,体系能级为:
(1)
基态:
空间部分波函数是对称的
:自旋部分波函数是反对称的:
总波函数:
(2)第一激发态:空间部分波函数:自旋部分波函数:
二电子体系的总波函数:
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基态不简并,第一激发态是四重简并的。
5. 假设一个定域电子(忽略电子轨道运动)在均匀磁场中运动,磁场S 沿轴正向,电子磁矩在均匀磁场
中的势能表示
;
这里
为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵
(1)求定域电子在磁场中的哈密顿量,并列出电子满足的薛定谔方程:(2)假设(3)求
时,电子自旋指向x 轴正向,即时,电子自旋指向y 轴负向,即
求
时,自旋的平均值。
的几率是多少?
【答案】(1)忽略电子轨道运动,其中,所以哈密顿为:薛定谔方程为:(2)在
是玻尔磁子。
表象中求解,自旋波函数可表示为:
即:
其中,设
因此可得:
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时,电子的自旋指向x 轴正向,对应波函数为
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