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一、证明题

1． 证明么正变换不改变算符的本征值。

【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：

由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。

2． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

于是有：

其中：

同理，有:

因此，有：

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为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

利用类似的方法，可得：

因此，有：

综上所述，可以得到

也即

故为体系守恒量，得证。

二、计算题

3． 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令

式称为测不准关系。 坐标和动量

之间的测不准关系为：

4． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

其

中

是

符号

，

证明：若f 是

的共同本征

（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由

同理可得则

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是则

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的共同本征函数，可设

可见

是

和

的共同本征函数，本征值分别为

代入

的本征方程

得

（c ）在球坐标中，

利用周期性边界条件由归一化条件可得

相应的本征方程为

可得

则的本征态为

5． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，

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