2017年上海市培养单位上海天文台601高等数学(甲)考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 幂级数
【答案】[-1, 1）
【解析】分为两个幂级数分别考虑 幂级数幂级数则幂级数
2． 已知幂级数为_____。
【答案】（0, 2]
【解析】利用阿贝尔定理，
由于幂级数
处收敛；
由于幂级数
处发散。故该幂级数的收敛域为
3． 微分方程
【答案】
这是一个齐次型方程，
设
代入可得特解为
得到通解为
满足
的解为_____。
在x=2处收敛，
则该幂级数在在x=0处发散，
则该幂级数在。
在x=2处收敛，在x=0处发散，则幂级数
的收敛域
的收敛域为
；
的收敛域为_____。
； 的收敛域为（-2, 2）
的收敛域为
。
【解析】
方程的标准形式为
C 为任意常数，再将初始条件
4．
【答案】【解析】
=_____。
5． 曲线
【答案】
上对应于t=1的点处的法线方程为_____。
【解析】由题中函数表达式得，故法线为
即
6． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
曲面曲线曲线【答案】（C ）
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确. 7． 设曲线
【答案】216π 【解析】
解法一：再用参数方程化为定积分：
则有
，取逆时针方向，则
_____。
在点在点在点
的一个法向量为
的一个切向量为
的一个切向量为
，
，
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
，分别位于上半平面与下半平面，并
，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分=
8． 已知幂级数
【答案】1
【解析】由于幂级数收敛半径为1，因而幂级数
9． 已知向量_____。
【答案】1
【解析】由题意知，令
，则
在x=1处条件收敛，则x=1为该幂级数收敛区间的端点，即其
收敛半径也为1。
则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为
对y 为偶函数，则。
上用格林公式得
在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为_____。