2017年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 设是实数域R 上的3维线性空间V 内的一个线性变换，对V 的一组基
（1）求的全部特征值和特征向量；
（2）设
求的一个非平凡的不变子空间.
下的矩阵为A ，由题设有
计算可得所以当令（2）由于
时，由
另外两个为虚根，不属于实数域，应舍去，即在实数域R 上仅有一个特征值3.
可得特征向量为令从而有特征值
也是B 的特征向量， 令是W 的一组基.
2． 求
则W 是的特征子空间，从而为的非平凡的不变子空间，且
其中k 为任意非零实数.
则属于特征值3的全部特征向量为
【答案】（1）设在基
有
这里是对所有的n 级排列求和
经一系列的对换都可以化为自然排列
的奇偶性相同，因而
且所作对换次
【答案】由任意n 级排列数的奇偶性与排列
这里注意到n 级排列奇偶排列各占一半. ． 求下列复系数矩阵的若尔当标准形：
【答案】⑴
所以A 有3个不同的特征值，A 可以对角化. A 的若尔当标准形为：
3
（2）
有二个互素的2级子式：
所以
又因
所以A 的初等因子有A 的若尔当形为：
（3）
（4）因为所以不变因子为若尔当形为：
（5）初等因子为若尔当形为：
（6）用初等变换将
化为标准形
初等因子为