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一、填空题

1． 设函数

【答案】

。

则

的反函数x=f（y ）在y=0处的导数

-1

=_____。

【解析】当y=0时，即x=-1，则 2． 直线L ：

【答案】较为简单，即

则有

绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为_____。

【解析】求空间直线绕某一坐标轴旋转一周所得的曲面方程，可首先将该直线化为参数方程

即所求旋转曲面的方程为

3． 设连续函数z=f（x , y ）满足

【答案】2dx-dy 【解析】由已知条件

可知，当x →0, y →0时有

根据二元函数全微分的定义知，函数z=f（x ，y ）在点（o , 1）处可微，且满足

所以

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，则=_____.

4． 球面

【答案】

与平面

的交线在yOz 平面上的投影方程为_____。

【解析】所有在yOz 平面上的投影方程可以看做是平面x=0与一个方程中不含x 的一个曲面相交所得的图形。在本题中，具体做法是将已知球面和已知平面联立，消除x ，得到的方程与x=0联立，即为所求的投影方程。

又平面方程为x+z=1，则x=1-z，代入球面方程

故所求投影方程为

5． 已知级数

【答案】【解析】由于

收敛，则a 应满足_____。

，得

则原级数与级数同敛散，而当且仅当时级数才收敛。

6． 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

（1）数列{xn }有界是数列{xn }收敛的_____条件。数列{xn }收敛是数列{xn }有界的 _____条件。

（2）f （x ）在x 0的某一去心邻域内有界是在x 0的某一去心邻域内有界的_____条件。 （3）f （x ）在x 0的某一去心邻域内无界是与 在x 0的某一去心邻域内无界的_____条件。 （4）f （x ）当件。

【答案】（l ）必要，充分。 （2）必要，充分。 （3）必要，充分. （4）充分，必要。

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存在的_____条件。 存在是f （x ）

的_____条件，都存在且相等是

是f （x ） 存在_____条

时的右极限及左极限

二、计算题

7． 设

（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当

；

。

时，有

故

由（2）由

知

（3）易知

由

，反复利用此公式，得

即

故

及夹逼准则知

。

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