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一、填空题

1． 向量

场

_____。 【答案】2 【解析】

2． 已知曲线L 为曲面

【答案】【解析】将

代入

得z=1，则曲线L 的参数方程为

的交线，则

_____。

在

点

处的散

度

3． 设函

数

可微，

且

，

则

在点（1, 2）处的全微

分

_____。

【答案】

，故

【解析】若要求全微分，则需求出函数对各个自变量的偏导。令

将（1, 2）代入

得

。又

，故

4． 设曲线

【答案】216π 【解析】

解法一：再用参数方程化为定积分：

解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线

，分别位于上半平面与下半平面，并

则有

，取逆时针方向，则

_____。

，均为逆时针方向，见下图。

其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。

围成的区域记为

，它们的面积相等为3π。在

上用格林公式得

解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 5． 设

为

对y 为偶函数，则。 的外侧，则

=_____。

【答案】

【解析】利用高斯公式得

6． 点（2，1，0）到平面

【答案】

【解析】由点到平面的距离公式

的对称的点

，过点

的距离d=_____。

7． 点（1, 1, -1）关于平面

【答案】线方程为

【解析】设所求点为

的坐标是_____。

垂直的直

与平面π：

即

将其代入平面方程得l=1，故直线l 在平面π的投影点为点，由中点坐标公式得

即所求点的坐标为（3, -3, 1） 8． 设是由

【答案】

，则M 是线段PQ 的中

所确定，则_____。