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一、选择题

1． 若

都是4维列向量，且4阶行列式

则

=（ ）.

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

秩A , 则线性方程组（ A. 有无穷多解 B. 必有惟一解

C.

D. 必有非零解

【答案】D 【解析】阶方阵，且秩

秩

3． 设行列式

为，则方程，

的根的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

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.

）

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有两个根

与

分别为A , B 的伴随矩阵，

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B , 则有（ ）.

A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A *的第1行与第2行得B *

C. 交换A *

的第1列与第2

列得- B* D. 交换A

*的第1行与第2行得- B

* 【答案】C

【解析】解法

1:题设

又

所以有

即题设

因此

即

5． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1用排除法令

则

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*

*

所以有

右乘初等阵

所以

得

解法2

则当（

）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于

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这时方法2

所以当方法3设

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

则

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

，

即

时，二次型可化为

所以f 为正定的.

时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

则当

二、分析计算题

6． 设

由由但及故

不能有整根.

与

为K 上两个互素多项式, 证明:n 元齐次线性方

与

或

必有.

的解空间

的直

是一个整系数多项式，试证：如果

的整根，则及

及

为奇数，则c 为奇数.

为奇数，

为奇数， 与

都是奇数，那么

不能有整数根.

【答案】设c 为

是整系数多项式，

是不能同时为奇数的矛盾.

7． 设A 是数域K 上的n 阶方阵, 又程组和.

【答案】由于. 因此,

都是V 的子空间.

的解空间V 是

故由

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