2018年兰州理工大学理学院870高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
时，
由
，用
使
则（ ）.
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 5． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
, 故
再由
是正交阵
，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
则为（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶复方阵. 证明:存在一个n 维向量使每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量.
【答案】取
且由
由于
，使n 维向量组
，则P 是可逆矩阵，
线性无关，所以可令
线性无关的充要条件是A 的
可得
由此可得A 的不变因子为令
则A 的初等因子为
从而有A 的若当标准形
可见量.
.
. 所以
所以A 的每个特征子空间的维数均为1，即A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向如果A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量, 则对A 的任一特征
根
从而A 的若当标准形
右